الرياضيات في دقيقة: درجات حرارة متعادلة

يوجد في كل نقطة زمنية معينة نقطتان على خط الاستواء لهما نفس درجة الحرارة.

كيف لنا أن نعرف هذا؟ سنثبت ذلك.

دعونا نلقي نظرة إلى المستوى الاستوائي الذي يقسم الأرض عند خط الاستواء، إذ إن خط الاستواء دائرة تقع في هذا المستوى، ويمكننا اختيار نظام إحداثيات على المستوى بحيث تقع النقطة في مركز دائرة خط الاستواء، لكل نقطة على الدائرة الاستوائية هنالك نقطة   تقع تمامًا مقابلة لها.

الآن لدى كل نقطة  على خط الاستواء درجة حرارة . يمكننا أن نفترض أن الدالة (التابع) التي تعبر عن درجة الحرارة لكل نقطة هي دالة مستمرة،  وذلك لأن درجة الحرارة لا تقفز فجأة لأعلى أو لأسفل أثناء التنقل على الأرض.

الآن افترض أن الدالة: مستمرة أيضًا.

إذا كانت قيمة التابع تساوي صفر عند بعض النقاط ، هذا يعني أننا أثبتنا المطلوب، وذلك لأنه:

وهذا يعني:

إذًا تكون درجة الحرارة عند تساوي درجة الحرارة عند .

أما إذا كانت  لا تساوي صفر، فلنفترض عند إذن أن هنالك نقطة حيث

وهذا يعني أن:

هناك نتيجة تسمى نظرية القيمة المتوسطة intermediate value theorem، والتي تنص على أنه إذا كانت الدالة المستمرة أكبر من صفر في مرحلة ما من نطاقها وأقل في نقطة أخرى، فيجب أن تساوي الصفر في نقطة ما بين الاثتنين.

لذلك عندما يكون و على الدائرة حيث .

وهذا يعني:

حيث أن درجة الحرارة عند تساوي درجة الحرارة عند .

وتنطبق هذه النتيجة في الواقع على أي دائرة على الأرض، وليس فقط دائرة خط الاستواء. في الواقع، النتيجة هي حالة أحادية البعد لنظرية بورسوك-أولام Borsuk-Ulam theorem، والتي تقول أنه بالنسبة لأي دالة مستمرة من الدائرة إلى الأعداد الحقيقية، هناك نقطة بحيث أن .

تقول النسخة الأعم من نظرية بورسوك-أولام Borsuk-Ulam theorem أنه بالنسبة لأي دالة مستمرة من المجال إلى مجموعة الأعداد مقابلة  -tuples من الأعداد الحقيقية هناك نقطة يكون عندها.

المصدر: maths.org