الهندسة الإقليدية مقارنة مع الهندسة الكروية

لطالما سمعنا بالهندسة الإقليدية والهندسة الكروية، ما الاختلاف بينهما؟ وهل تبقى النظريّات المتّبَعة في إحديهما صحيحةً في الأخرى؟

قبل البدء في المقارنة بين خاصيات الهندسة الإقليدية والكروية، لِنُبحر قليلاً في التاريخ ولنتعرّف على كلِّ واحدةٍ منهما على حدة.

الهندسة الإقليدية

سُمّيت كذلك نسبةً إلى إقليدس ـ حوالي 300 ق.م ـ حيث اشتهر بكتابه “العناصر”، وهو الكتاب الأكثر تأثيراً في تاريخ الرياضيات. وقد استُخدِم في تدريس الرياضيات ـ خصوصاً الهندسة ـ منذ بداية نشره حتى نهاية القرن التاسع عشر. ضمَّ الكتاب في الإجمال 23 تعريفاً (شملت تعريف كلّ من: النقطة، المستقيم، الخط، الدائرة، الشكل الرباعي، المثلث والزوايا بأنواعها…)، كما ضمّ خمس مسلماتٍ وخمس بديهيات.

مسلّمات إقليدس هي:

• يمكن رسم خطٍّ مستقيم واحد فقط يمرّ بنقطتين مفروضتين.
• يجوز مدّ المستقيم من جهتيه إلى غير حدّ.
• يمكن رسم دائرةٍ إذا عُلِمَ مركزها ونصف قطرها.
• جميع الزوايا القائمة متساويةٌ مع بعضها البعض.
• إذا قُطِع مستقيمان بمستقيمٍ ثالث بحيث كان مجموع الزاويتين الداخليتين الواقعتين على جهةٍ واحدة من القاطع أقلّ من 180 درجة، فإنّ المستقيمين يلتقيان في تلك الجهة من القاطع عند تمديد المستقيمين.

والبديهيات هي:

• الأشياء المساوية لغيرها متساويةٌ فيما بينها.
• إذا أضفنا كمّياتٍ متساوية إلى أخرى متساويةٍ تكون النتيجة متساوية.
• إذا طرحنا كمّياتٍ متساوية من أخرى متساويةٍ تكون النتيجة متساوية.
• الأشياء المتطابقة متساوية.
• الكلّ أكبر من الجزء.

وللتنويه فإنّ التعريف هو وصفٌ واضح تماماً لأيّ مصطلح، وهو يصف معنى الكلمة بتحديد جميع خواصّها. مثل: ـ حسب إقليدس ـ النقطة هي ما لا جزء له. والدائرة هي شكلٌ مستوٍ، حدّها خطٌّ بحيث تكون المسافة بين نقطة محددة هي مركز الدائرة وأي نقطة على المحيط متساوية وتساوي نصف القطر. وحيث: المسلّمة أو البديهية هي تعبير واضح تماماً، يقبل بدون برهان أو شرح، يُمكن التصريح بها، كلّ من المسلّمات والبديهيات بمثابة أساسيات لاستنتاج الحقائق الأخرى. اليونانيون القدماء وضّحوا الفرق بين المصطلحين حيث: البديهيات هي افتراضات واضحة بذاتها، وتكون شائعة لكلّ فروع العلوم، بينما المسلّمات تكون مرتبطة بفرع محدّد من العلوم.

الفرق بينهما:

• البديهية axiom: استخدم أرسطو مصطلح axiom وقد اعتاد أن يسمّيها “الأشياء الشائعة”. تصنَّف البديهيات في الرياضيات لبديهياتٍ منطقية وبديهيات لامنطقية. البديهيات المنطقية هي تعابيرٌ أو افتراضاتٌ تعتبر صحيحةً عالميا، والبديهيات اللامنطقية تُدعى أحياناً مسلّماتٍ تعرّف مجال نظريةٍ رياضية محددة، أو صيغاً منطقية تُستخدم لاستنتاج وبناء نظرياتٍ رياضية، مثل: الأشياء المساوية لغيرها متساويةٌ فيما بينها.
• المسلّمات postulates: تقود إلى ما هو خاصٌّ ببنية محددة. مثلاً: يمكن رسم خطٍّ مستقيم واحد فقط يمرّ بنقطتين مفروضتين، أو يمكن رسم دائرة إذا عُلِم مركزها ونصف قطرها.

الهندسة الكروية

هي فرعٌ من فروع الهندسة اللاإقليدية، وتسمّى أيضاً هندسة ريمان نسبةً إلى العالم الألماني ريمان، وهي عبارةٌ عن الهندسة على مستوى سطح الكرة، تُعرّف فيها النقطة كما تُعرّف في الهندسة الإقليدية، بينما تُعرّف القطعة المستقيمة بأنّها أقصر مسافةٍ تصل بين نقطتين. إذن المستقيمات في هذه الهندسة هي عبارةٌ عن دوائر (تخيّل خطوط الطول والعرض على سطح الكرة الأرضية) تستعمل بكثرةٍ في علم الملاحة والفلك. وتقابل المسلّمة الخامسة في الهندسة الإقليدية المسلّمة التالية: لا يوجد مستقيمان متوازيان. وخير مثالٍ لذلك خطوط الطول، فرغم أنّها تبدو متوازيةً إلا أنّها تتقاطع في نقطتين عند القطبين.

مجموع قياس زوايا مثلث في الهندسة الكروية أكثر من PIراديان، وبالضبط PI راديان زائد مساحة ذاك المثلث حسب صيغةGirard

بالإضافة إلى ذلك فإنّ نسبة محيط الدائرة إلى قطرها أكبر من النسبة الثابتة  “PI”  على عكس الهندسة الإقليدية التي يساوي فيها PI.

وأخيراً نظرية فيثاغورس لاتسري لحساب المسافة بين نقطتين إلّا في حالة النقاط القريبة جداً من بعضها وبصورة تقريبية. أي أن نظرية فيثاغورس لحساب المسافة بين النقطتين تسري فقط بصورة موضعية عندما تكون النقاط قريبة.

بعض الفروق بين الهندسة الإقليدية والهندسة الكروية:

الهندسة:	الإقليدية	الكروية
المستقيم	من نقطتين يمر مستقيم وحيد	المستقيم عبارة عن قوس، ومن نقطتين تمر عدة أقواس، وأصغر مسافة بين النقطتين تقابل المستقيم في الهندسة الإقليدية
الانحناء	منعدم	موجب
المثلث	مساحته هي القاعدة في الارتفاع مقسومة على 2	مساحته حسب صيغة Girard هي:   α+β+ɤ-π)r²=A)
مجموع قياس الزوايا هو 180 درجة	مجموع قياس الزوايا أكبر من 180 درجة
خاصيات ومسلمات	خاصية التوازي صحيحة	خاصية التوازي خاطئة
نظرية فيثاغورس صحيحة	تسري فقط بصورة موضعية

المصادر

• Les geometries non euclidiennes
• Geometrie Spherique
• Les trois geometries
• Spherical Geometry
• difference between axioms and postulates
• The Definition
• AXIOMS AND POSTULATES OF EUCLID