1=…0.999، كيف يمكن أن تكون هذه المعادلة صحيحة؟

هناك العديد من البراهين المختلفة على أن “…0.9999” تساوي بالفعل 1. فلماذا يستمر هذا السؤال بالظهور؟
لا يجادل الطلاب حول ما إن كانت “…0.3333” تساوي 1/3، لكن الثلث يبقى عددًا كسريًا. ربما “نحسّ” ببساطة بأنه من “الخاطئ” أن يكتب شيء جميل وأنيق ومؤدب كالرقم “1” بهذا الشكل الفوضوي للرقم “…0.9999”. أيا كان السبب، فإن كثيرًا من الطلاب شعروا، في مرحلة ما، بعدم الارتياح أمام هذه المعادلة.
يبدو أن أحد نقاط الخلاف الرئيسية مرتبط بطريقة الكتابة، لذلك فلنوضح هذا الأمر في البداية: عندما أقول “…0.9999″، أنا لا أقصد “0.9” أو “0.99” أو “0.9999” أو “0.999” التي يتبعها عدد كبير ولكن محدود من التسعات. فالنقاط الثلاث المتتالية بعد التسعة تعني “تكرار نفس العدد بشكل لانهائي”. وبعبارة أخرى، “…0.9999” لا تنتهي، سوف يكون هناك دائما تسعة أخرى في آخر العدد …0.9999، لذا فلا تعترض على أن …0.9999=1 على أساس أنه “مهما ذهبت بعيدا فإنها تبقى أقل من 1″، لأنه لا يوجد “بعيد” لنذهب إليه، فبالإمكان دائمًا أن تذهب أبعد.
لكن البعض يقولون: “سيكون هناك دائما فرق بين …0.9999 و1”. حسنًا، نوعا ما. فبالفعل، إن توقفنا في أي نقطة، في أي مرحلة من مراحل التوسع، لأي عدد محدود من التسعات، سوف يكون هناك اختلاف بين 9…0.999 و 1. بحيث أنك إن قمت بعملية الطرح 9…0.999-1 لن تكون النتيجة صفرًا. ولكن معنى النقاط الثلاث المتتالية هو أنه لا توجد نهاية. …0.9999 عدد لانهائي. لا يوجد رقم أخير. لذلك فإن حجة “يوجد دائمُا فرق” تدل على عدم فهم لللانهائي. (هذا ليس إنتقادًا لأحد، فموضوع اللانهائية غير واضح).

برهان المتسلسلة الهندسية:

بالإمكان نشر العدد “…0.9999” على النحو التالي:

0.9999…= 0.9+0.09+0.009+0.0009+…

بعبارة أخرى، فإن كل حدود هذا المجموع اللامتناهي ستحتوي على “9” مسبوقة بعدد من الأصفار. ويمكن أيضا أن يكتب هذا على النحو التالي:

وهذه سلسلة هندسية لانهائية مع حد أولي 9/10=a ونسبة مشتركة r=1/10. بما أن قيمة النسبة المشتركة r أقل من 1، يمكننا استخدام صيغة المجموع اللانهائي، لتكون النتيجة:

مما يثبت أن …0.9999= 1.
ملاحظة: من الناحية الفنية، يتطلب هذا الإثبات التسليم ببعض المفاهيم المتقدمة. إذا كنت تدرس “أسس” أو فلسفة الرياضيات، قد تواجه البنى النظرية المطلوبة.

[better-ads type=”banner” banner=”12459″ campaign=”none” count=”2″ columns=”1″ orderby=”rand” order=”ASC” align=”center” show-caption=”1″][/better-ads]

بعض حجج ما قبل حساب التفاضل والتكامل:

– حجة الأسبقية:

إذا لم تكن قد تعلمت بالفعل أن 1/3=…0.333 هو عدد عشري، يمكنك إثبات ذلك بسهولة عن طريق القيام بالقسمة المطولة:

…وهكذا دواليك، إلى اللانهاية.

بما أن

1/3 + 1/3 + 1/3 = 3( 1/3 ) = 1

فإنه من المعقول أن

0.333… + 0.333… + 0.333… = 3(0.333…)=1

لكن بما أن

3(0.333…) = 0.999

فإن …0.999 يجب أن تساوي 1.

– الحجة الحسابية:

عند طرح عدد من نفسه، تكون النتيجة هي الصفر. على سبيل المثال، 0=4-4. فماذا ستكون النتيجة عند طرح …0.999 من 1؟ عند القيام بعمليات طرح أقصر نحصل على:

و ماذا عن …0،999 – …1،000؟
ستحصل على سلسلة لانهائية من الأصفار. لكنك ستسأل: “ماذا عن ذلك الـ1 في النهاية؟”. في الحقيقة…0.999 عدد عشري لانهائي. ليست له “نهاية”، وبالتالي لا يوجد “1 في النهاية”. الاصفار تستمر إلى الأبد. و0=…0.0000.
وبما أن:

1 – 0.999… = 0.000… = 0

فإن: …0.9999= 1.

– حجة من الفلسفة:

إذا كان لدينا رقمان مختلفان، فإن بإمكاننا إيجاد رقم بينهما، يكون بمثابة معدلهما. ولكن ما هو الرقم الذي يمكن أن يوجد بين …0.999 و…1.000؟

– حجة من الجبر:

الكتابة …0.999 تعبر عن عدد ما، يملك قيمة ما. لتكن x مساوية لهذه القيمة، بحيث تكون …0.999=x. لنضرب هذه المعادلة بـ10:

x = 0.999…
10x = 9.999…

لنطرح الكتابة الأولى من الثانية:

بحل هذه المعادلة نحصل على: x=1، لذا فإن …0.999 = 1.

لكنك قد تسأل، “عند ضرب عدد في عشرة، يفترض أن يكون هناك صفر في النهاية، أليس كذلك؟” بالنسبة للأعداد المنتهية، بالتأكيد. ولكن …0.999 عدد لانهائي. ليس هناك “نهاية” لنضع فيها هذا الصفر.

– حجة دلالية:

أحد الإعتراضات الشائعة هو أنه في حين أن العدد …0.999 يقترب كثيرًا من 1، فإنه لا يساويه مطلقًا. لكن ما هو المقصود بـ”يقترب كثيرًا”؟ العدد لا يتحرك كي نقول أنه يقترب، إنه عدد واحد ثابت، يجلس هناك وينظر إليك. فإنه لا “يأتي” ولا “يذهب” ولا “يتحرك” ولا “يقترب” من أي شيء.
من ناحية أخرى، فإن عناصر التسلسل 0.9، 0.99، 0.999، 0.9999، …، “تقترب كثيرًا” من 1، بمعنى أننا كلما تقدمنا في السلسلة نجد أن الفرق بين كل عنصر و1 يصير أصغر فأصغر. لا يهم كم تريد أن يكون الفرق صغيرا، بالإمكان العثور عن فرق أصغر منه.
منهجية “الإقتراب كثيرًا” تشير لما يسمى في الرياضيات بـ “الحدود”. ووفقا لنظرية الحدود، فإن “الإقتراب كثيرًا” يعني التساوي: …0،999 تساوي بالفعل 1.

ملاحظة بخصوص كل ما سبق:

إلى حد ما، كل الحجج السابقة تعتمد على مذهب تأسيسي في الرياضيات يسمى “أكسيوم الإختيار”. مناقشة أكسيوم الإختيار هو شيء لا يمكن أن تتم تغطيته هنا، وهو شيء يعتبره معظم الرياضيين من المسلمات.