العدد التخيلي i مرفوع إلى i هو عدد حقيقي

من معرفتك للأعداد المركبة تعرف أن العدد التخيلي i يملك خاصية أن مربعه يساوي 1- . ولكنها حقيقة غريبة إلى حدٍ ما أن العدد i مرفوع الى القوة i هو عدد حقيقي!
في الحقيقة، قيمته تقريباً 0.20788
لنرى كيف عرفنا ذلك:
من نظرية Euler، نعرف أن :

exp(i*x) = cos(x) + i*sin(x)

حيث (exp(x هي الدالة الأسية e^z اذن:

exp(i*pi/2) = cos(pi/2) + i*sin(pi/2) = i

برفع الطرفين إلى القوة i، نرى أن الطرف الأيمن هو القيمة التي نريدها ( i مرفوعه إلى القوة i )، والطرف الأيسر يصبح (exp(i*i*pi/2 أو (exp(-pi/2 ، والذي يساوي تقريباً القيمة 0.20788
ملاحظه :
هذه قيمة من عدة قيم ممكنة للعدد i مرفوع الى القوة i، لأنه على سبيل المثال : exp(5i*pi/2)=i ، وفي تحليل الاعداد المركبة، نتعلم ان الرفع الى i هي دالة متعددة القيم.