باي و حجم الكون

باي أو ثابت الدائرة هو ثابت رياضي يستخدم في الرياضيات والفيزياء بشكل مكثف. وهو عدد حقيقي غير نسبي متسامٍ، أي غير عنقودي. يعرف أيضا باسم ثابت أرخميدس. ويمثل العدد باي نسبة محيط الدائرة الى قطرها. وهو ضعف أصغر عدد موجب حيث تنعدم دالة جيب التمام.

من غير المعروف كيف ومتى اكتشف الإنسان أن النسبة بين محيط الدائرة وقطرها هي نسبة ثابتة، لكن من الأكيد أن هذه الحقيقة قد عرفت منذ قديم الزمان. فالحضارات القديمة كالحضارة المصرية والبابلية تعاملتا مع العدد باي. كان البابليون يستخدمون التقريب 25/8 بينما استخدم المصريون التقريب 256/81. ويرجع حصر قيمة باي بين 22/7 و 221/73 إلى العالم اليوناني أرخميدس الذي ابتكر طريقة الاستنفاذ لحساب قيمة تقريبية للعدد باي.

في القرون التالية اهتم الفلكيون بتدقيق الحساب التقريبي لـ باي، وكانت هناك محاولات عديدة منهم لايجاد اكثر عدد من الخانات العشرية لها، و مع ظهور الآلات الحاسبة ثم الحاسبات الإلكترونية والنظرية الرياضية للنهايات والمتسلسلات اللانهائية تحسنت قدرة العلماء على حساب قيم تقريبية للعدد باي، بحيث تم التوصل لحساب 10 تريليون خانة منه.

ومع هذا فإنَّ كل ما نحتاجه هو 39 خانة لقياس محيط الكون المرصود الذي يمثل المسافة التي سافرها الضوء منذ الانفجار العظيم في مرحلة التوسع الكوني. واذا قلنا انه سافر في شكل كرة كبيرة داخل فقاعة ضخمة (حسب تقدير علماء الكونيات) فإننا عند حساب المسافة حولها سوف نحصل على محيط الكون، وبالتالي نحتاج باي لاتمام هذه العملية التي ستكون دقيقة جدا كدقة عرض ذرة هيدروجين إذا استخدمنا 39 خانة فقط من باي، طبعا لن نحتاج الى عدد اكبر من الخانات اللامتناهية.

على أي حال فإن أفضل توقيت لحدوث الانفجار العظيم هو 13.798 ±0.037 بليون سنة، ذلك من خلال حساب درجات الحرارة القادمة من إشعاع الخلفية المكروي الكوني (بحر الفوتونات) والتي تحمل معها خلفية نشوء الكون وتاريخه ويمكن كشفها عند درجة حرارة 2.73 كيلفن وهناك علاقة بين درجة الحرارة والتوسع الكوني يعبر عنها باستخدام عامل هابل المتغير (Hubble parameter) حسب هذه المعادلة:

القيمة الحالية لهابل هي 71 Km/s/Mpc حسب مهمة WMAP وباستخدام معامل هابل نحصل على الزمن الذي قطعه اطول لفوتون للوصول الى حافة الكون المرصود والذي نفسه يعتبر نصف قطر الكون حسب هذه المعادلة:

واذا قمنا بتقدير حجم الكون كفقاعة عملاقة فاننا سنحصل عليه من خلال هذه المعادلة حيث نستخدم 39 خانة من باي:

واذا ما قمنا بقياس حجم الكون بهذه الطريقة ومقارنته بالحجم الذي نحصل عليه من قيمة باي الكلية فان الخطأ بالحساب سيعادل عرض ذرة هيدروجين صغيرة! وهذا الخطأ لا يعني شيئا بالنسبة لحجم الكون الواسع.

ومن ناحية عملية للاستخدامات في الحسابات الهندسية نحتاج الى مقدار من الخانات اقل من ذلك للحصول على دقة تناسب كل شيء نقوم به.