معادلة شرودنجر

0 1٬963

لنفترض أحد الأسئلة الشائعة في كُتب الفيزياء. إذا وجدت أنّ الوقود قد نفذ من سيارتك، كم مقدار القوة التي ستحتاجها حتى تتسارع السيارة للوصول إلى سرعة مطلوبة؟ الإجابة بكل بساطة تأتي من قانون نيوتن الثاني للحركة، بحسب المعادلة:

\[ F=ma, \]

حيث أنّ F تمثل القوة، وm تمثل كتلة السيارة، وa تمثل التسارع. ويمكننا التعليق على هذه المسألة بأنها بسيطة ومباشرة بشكل مذهل. ويمكننا القول أيضاً بأنّه يمكن لهذه القوانين أن تصف أي نوع من أنواع الحركة، على الأقل ضمن النظرية، وإجابة جميع أسئلة الفيزيائيين التي من الممكن أن يسألوها تقريباً.

لكن، عندما بدأ الناس النظر إلى العالم من واجهة المقياس الصغير جداً، مثل الإلكترونات التي تدور حول النواة في الذرة، استنتجوا أنّ هناك تصرفات غريبة تحدث على مستوى هذه المقاييس، ولم تستطع قوانين نيوتن التنبؤ بها والعمل عليها. لذلك احتجنا نظرية ميكانيكا الكم . والمعادلة النظيرة لمعادلة نيوتن داخل نظرية ميكانيكا الكم، هي معادلة شرودنجر، والتي سنتحدث عنها هُنا وفي عدة مقالات تالية.

الجُسيمات والأمواج

“في الميكانيكا الكلاسيكية وصفنا حالة النظام الفيزيائي باستخدام الموقع وكمية التحرك”

كما قال ناظم بوعطا، وهو عالم فيزياء نظرية في جامعة كامبردج. على سبيل المثال، إذا كان لديك طاولة مليئة بكُرات البلياردو المتحركة وكنت تعرف موقع وكمية تحرك كل منها (حيث أنّ كمية التحرك تساوي كتلة الجسم مضروبة بسرعته) خلال وقت مُحدد ولنفترض t، إذاً ستستطيع معرفة كل ما تحتاجه عن النظام في وقت محدد: حيث أنّك تستطيع معرفة إلى أين ستذهب كل كرة وكم سرعتها في جميع الأوقات. ويُكمل ناظم:

“نوعية السؤال الذي سنسأله لاحقاً هو: إذا عرفنا الحالة الابتدائية للنظام، والزمن سيكون t0 ، ما هو التطور الحركي الذي سيحصل للنظام؟ ولذلك نستخدم قانون نيوتن الثاني. في ميكانيكا الكم نسأل نفس السؤال، لكن ستكون الإجابة هُنا صعبة بعض الشيء لأنّه لا يمكن وضع متغيرات لوصف الموقع وكمية التحرك”.

أي أنّ سبب استخدامنا لقانون نيوتن الثاني هو نفس السبب الذي سنستخدم له معادلة شرودنجر، لكن المُختلف هو قُدرتنا على تحديد مُتغيرات تصلح لوصف النظام في حالته الابتدائية، في قانون نيوتن استطعنا كما سبق وضع مُتغيرات، لكن عند شرودنجر سيختلف الوضع قليلاً ويُصبح أصعب لأننا نتعامل على مقياس صغير جداً.

ولتوضيح المشكلة أكثر: لا تتصرف الأشياء التي تحاول ميكانيكا الكم وصفها دائماً مثل كرات بلياردو صغيرة. في بعض الأحيان، من الأفضل التفكير بهذه الأشياء على أنها أمواج. ويُكمل بوعطا:

“خُذ مثالاً الضوء. إلى جانب عمل نيوتن في الجابية، إلّا أنه كان مهتماً في البصريات، وبالنسبة له كان تفسيره للضوء على أنّه جُسيمات. ولكن فيما بعد، عندما جاء جيمس ماكسويل، اكتشفنا أنّه يمكن وصف الضوء على أنّه أمواج”.

لكن في عام 1905، عندما لاحظ آينشتاين أنّ نموذج الأمواج لم يكن صحيحاً بشكل مُطلق بالنسبة للضوء، فسّره على أساس وجود التأثير الكهروضوئي Photoelectric effect، ولفهم ذلك يجب عليك التفكير بحزمة ضوء كمجرى للجسيمات، والتي اعتبرها اينشتاين فوتونات photons. حيث أنّ عدد الفوتونات يتناسب طردياً مع شدة الضوء، والطاقة لكل فوتون تتناسب طردياً مع تردد الضوء، حسب المعادلة:

\[ E=hf, \]

حيث أنّ f تُمثل التردد، وE تمثل الطاقة. و $h=6.626068 \times 10^{-34} m^2kg/s$ تمثل ثابت بلانك، وهو رقم صغير جداً وضعه الفيزيائي ماكس بلانك Max Planck، الذي وضع هذه الصيغة عام 1900 عندما عمل على إشعاع الجسم الأسود. ويقول بوعطا:

إذاً كُنّا نواجه هذا الوضع يمكننا في بعض الأحيان وصف الضوء كأمواج وفي أحيانٍ أُخرى كجسيمات.

رُبطت نتائج آينشتاين مع المسعى القديم الذي بدأ في القرن السابع عشر على يد كريسشان هوجينز Christiaan Huygens، واستكشفها مجدداً في القرن التاسع عشر ويليام هاميلتون William Hamilton: حتى تُوحَّد فيزيائية البصريات (والتي كانت الأمواج هدفها الأساسي) والميكانيكا (التي اهتمت بشكل أساسي بالجسيمات). مُلهماً بالتصرف الشيزوفريني للضوء (والذي شُرح في المقال السابق) قام الفيزيائي الفرنسي لويز ديبروجلي Louis de Broglie بأخذ خطوة في هذا المجال: حيث أنّه افترض أنّ قضية التصرف الشيزوفريني لا تختص بالضوء فقط، بل ببعض المواد التي امتلكت طبيعة مزدوجة من الأمواج والجسيمات. إنّ البُنية للمادة الصغيرة -مثل الإلكترونات في الذرات- تتصرف بالطبيعتين في حالات معينة.

إنّ فكرة ديبروجلي، والتي أعلن عنها في فترة عشرينيات القرن الماضي، لم تكن مبنية على أسُس ودلائل عملية، إنّما اشتُقّت من بعض الاعتبارات النظرية مُلهمةً بنظرية آينشتاين النسبية. زِد على ذلك، كان الإثبات العملي قريباً من الوجود. في نهاية عشرينيات القرن الماضي، أثبتت تجارب وُجد فيها تبعثر الجسيمات عن سطح كريستالي وجودَ الطبيعة الموجية للإلكترونات.

إحدى الإثباتات الشهيرة للطبيعة المزدوجة هي تجربة الشق المزدوج Double slit experiment. والتي تُطلق فيها الجسيمات (الإلكترونات، والفوتونات والنيوترونات) على شاشة تحتوي شقّين. خلف الشاشة الأولى يوجد شاشة أُخرى يمكنها تحديد إلى أين وصلت الإلكترونات التي مرّت من خلال الشقّين. إذا تصرّفت الإلكترونات كجسيمات، يمكننا توقع أنّها ستتجمع حول خطّين مستقيمين خلف الشقّين. لكن ما حدث أنه وُجد على الشاشة الثانية نمط التداخل: والذي ستحصل عليه إذا كانت الإلكترونات تتصرف كأمواج، كلّ موجة تمرّ عبر الشقّين في كل مرة، ثم تتداخل مع نفسها وتتوزع مرّة أخرى على الجهة الثانية. لكن على الشاشة الكاشفة تدخل الإلكترونات كما نتوقع: كالجسيمات. هذه نتيجة غريبة جداً بالتأكيد والتي أُعيدت أكثر من مرة، بكل بساطة يجب علينا أن نتقبل هذه النتيجة، وأنّ هذه هي الطريقة التي يعمل بها العالم.

معادلة شرودنجر

تطلّب التصور الجوهري الجديد الذي أعلنه ديبروجلي وجود فيزياء جديدة. كيف من الممكن أن تتحد الطبيعة الموجية والجسمية في الرياضيات؟ قام آينشتاين سابقاً بربط طاقة الفوتون مع تردد الضوء، والذي بدوره أثبت وجود علاقة مع طول الموجة حسب المعادلة:

حيث أنّ  λ هي طول الموجة، وc هي سرعة الضوء، وf هي التردد. وباستخدام نتائج النظرية النسبية من الممكن أن نوجد تناسب بين الطاقة والفوتون وكمية تحرّكه. لنخرج بالعلاقة التالية:

$\lambda =h/p$

حيث أنّ λ هي طول موجة الفوتون، و p هي كمية تحرّكه، و h هي ثابت بلانك.

وباستنتاج السابق، افترض ديبروجلي أنّ نفس العلاقة بين طول الموجة وكمية التحرّك يجب أن تعمل على أي جُسيم.

في هذه المرحلة، من الأفضل أن تفصل حدسك عن ما هو معنى قول أنّ الجسيمات تتصرف كالأمواج (سيُشرح الموضوع بالتفصيل في مقالنا التالي) ومتابعة الرياضيات فحسب.

في الميكانيكا الكلاسيكية، تشرح معادلة الموجة Wave Equation تطوّر الموجة عبر الوقت، مثل موجة الصوت وموجة الماء، وهي معادلة تفاضلية حلّها هو اقتران الموجة الذي يُعطيك شكل الموجة في أي وقت.

على سبيل المثال، افترض أنّ لدينا أمواج تتحرك عبر حبل مشدود على المحور السيني(X-axis)، ويهتّز في سطح المحاور السيني والصادي (XY-plane). حتى توصف الموجة كُلّياً، سنحتاج إيجاد إزاحة الحبل في اتجاه المحور الصادي، ويرمز لها بالرمز Y(x,t) حيث x هي كل نقطة يمر بها وt  هي كل وقت خلال الحركة. باستخدام قانون نيوتن الثاني للحركة، نجد أنّ لدينا هذه المعادلة:

\[ \frac{\partial ^2y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial ^2 y}{\partial t^2}, \]

حيث أنّ v هي سرعة الأمواج.

Figure2: the displacement in XY-plane

إنّ الحل العام لهذه المعادلة معقّدٌ بعض الشيء، بسبب حقيقة أنّه من الممكن أن يتذبذب الحبل بجميع الطُرُق الممكنة، وحقيقة أنّنا نحتاج معلومات إضافية عن النظام (مثل الحالة الأولية للنظام والظروف المحيطة به) حتى نجد بالتحديد ما هو نوع الحركة الموجود. ولكن كمثال، فإنّ المعادلة التالية تصف حركة الموجة في اتجاه المحور السيني الموجب (Positive X-direction) مع وجود التردد الزاويّ ω، إذاً كما تم التوقّع، من الممكن إيجاد حل لمعادلة الموجة:

وبالتشابه، يجب أن توجد معادلة موجيّة تحكم تطوّر لُغز “أمواج المادة”، بغض النظر عمّا يكون في خلال الوقت. يجب أن يكون حلّها اقتران موجي ψ (لكن يقاوم فكرة وصفه على أنّه موجة حقيقية) والذي يخبرنا كل ما نريد معرفته عن النظام الكمومي– مثل جسيم واحد يدور داخل صندوق – في أي وقت. وهو ما أخرجه العالم النمساوي إيروين شرودنجر عام 1926. لنظام جسيم وحيد يدور ويتحرك في الثلاثة أبعاد، يمكن كتابة معادلته كالتالي:

\[ \frac{ih}{2\pi } \frac{\partial \Psi }{\partial t} = -\frac{h^2}{8 \pi ^2 m} \left(\frac{\partial ^2 \Psi }{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 \Psi }{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 \Psi }{\partial z^2}\right) + V\Psi . \]

حيث أنّ V هي طاقة الوضع للجسم (واقتران بدلالة x,y,zو t)، و i هو العدد التخيّلي، وm هي كتلة الجسيم، وh هو ثابت بلانك. حل هذه المعادلة هو اقتران الموجة

ψ(x,y,z,t).

في بعض الحالات، لا تعتمد طاقة الوضع على الوقت. وفي هذه الحالة نستطيع في العادة حل السؤال من خلال اعتبار نسخة عدم الاعتماد على الوقت time-independent من معادلة شرودنجر، حيث يعتمد الاقتران على الفراغ فقط:

\[ \frac{\partial ^2 \psi }{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 \psi }{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 \psi }{\partial z^2} + \frac{8 \pi ^2 m}{h^2}(E-V)\psi = 0, \]

حيث أنّ E هي الطاقة الكلّية للجسيم، وحلّ المعادلة الكاملة يكون:

\[ \Psi = \psi e^{-(2 \pi i E/h)t}. \]

تُطبَّق هذه المعادلات على جُسيم يتحرك حركة ثلاثية الأبعاد، لكن لديها نظائر تصف نظام بأي عدد من الجُسيمات. وعِوضاً عن صياغة اقتران الموجة كاقتران يعتمد على الموقع والزمن، يمكننا صياغته كاقتران يعتمد على كمية التحرك والزمن.

إدخال عدم اليقين

سنقوم باستعراض حل معادلة شرودنجر لمثال بسيط في مقالنا التالي، وكيف يشابه حلّه بشكل كبير المعادلة الرياضية التي تصف حركة الأمواج.

لكن ما هو معنى هذا الحل؟ لا يمكن أن يُعطي موقع محدد للجُسيم المدروس في وقت مُعطى، لذلك لا يمكنه أيضاً التنبؤ بمسار الجُسيم مع مرور الوقت. بدلاً من ذلك، يُعطي هذا الحل اقتراناً مع الوقت ويُعطي قيمة لجميع الأماكن الممكنة ψ (x,y,z,t )، ويكون حلّه (x,y,z). والسؤال الآخر، ما هو معنى هذه القيمة؟ في عام 1926 قام العالم ماكس بورن Max Born بإيجاد تفسير احتمالي للمعنى. حيث قام بافتراض أنّ مربّع القيمة المطلقة لاقتران الموجة يُعطي احتمالية لإيجاد الجُسيم في هذه الأماكن في الوقت المُعطى. بمعنى آخر، احتماليّة أنّنا سنجد هذا الجُسيم في منطقة R عند وقت t من خلال الصيغتين التاليتين:

\[ |\Psi (x,y,z,t)|^2 \]

\[ \int _{R} |\Psi (x,y,z,t)|^2 dxdydz. \]

Werner Heisenberg, 1901-1976.

يرتبط هذا التصور الاحتمالي بشكل أو بآخر بنتيجة صادمة لصيغة ديبروجلي لطول الموجة وكمية التحرّك للجسيم، التي اكتشفها ورنر هايزينبيرجWarner Heisenberg عام 1927. وجد هايزينبيرج وجود حدود أساسية للدقة التي من الممكن أن نقيس بها موقع وكمية تحرّك جسيم متحرك. كلّما زادت دقّة قياسك لأحد الجُسيمات، قلّت دقّتك لقياس الآخر. وهذا ليس بسبب جّودة آلات القياس، وإنّما بسبب وجود انعدام يقين أساسي في الطبيعة. تُعرف هذه النتيجة الآن باسم مبدأ هايزينبيرج للايقين Heisenberg’s uncertainty principle، وهي إحدى النتائج التي تُقتبَس لتسليط الضوء على غرابة ميكانيكا الكم. وهذا يعني: أنه لا يمكننا في ميكانيكا الكم التحدث ببساطة عن مسار أو موقع أحد الجُسيمات التي نقوم بدراستها.

يقول أيضاً بوعطا:

“إذا آمننا بهذه الصورة اللايقينية، فيجب علينا أن نتقبّل حساباتنا الإحتمالية، لأننا بكل بساطة لا نمتلك إجابات محددة لأسئلة مثل ‘أين يمكننا أن نجد الإلكترون هذا عند زمن معين؟'”.

بمعنى آخر: كل ما يمكننا توقّعه من التمثيل الرياضي للحالة الكمومية، ومن اقتران الموجة، أنّه يمكنه أن يعطيك احتمال فقط.

سواء أكان أم لم يكن لاقتران الموجة أي تأويل فيزيائي، يبقى هذا سؤال هام وحرج. ونقتبس من بوعطا:

“السؤال كان، لدينا اقتران الموجة هذا، لكننا نفكر حقّاً إذا ما كانت هناك أمواج تنتشر في الفراغ مع مرور الوقت؟ حاول ديبروجلي وشرودنجر وآينشتاين أن يُعطوا تفسيراً واقعياً، مثل موجة الضوء على سبيل المثال، تنتقل في الخواء (دون وجود وسط ناقل، على عكس أمواج الصوت) لكنّ كان باولي وهايزينبرج وبور ضدّ التصوّر الواقعي. بالنسبة لهم، كان اقتران الموجة مجرّد أداة لحساب الاحتمالات فقط”.

هل تعمل؟

Louis de Broglie, 1892-1987.

لِمَ يجبُ علينا تصديق هذه الادعاءات الخيالية؟ في هذا المقال، قُمنا بتقديم معادلة شرودنجر كما لو أنّها التُقطت من الفراغ، لكن من أين أتت فعلياً؟ كيف اشتقّها شرودنجر؟ اعتبر الفيزيائي ريتشارد فاينمان Richard Feynman هذا السؤال سؤالاً عقيماً: “من أين أتينا بهذه المعادلة؟ ليس من الممكن اشتقاقها من أي شيء قد تعرفه. لقد أتت من عقل شرودنجر فحسب”.

حتى الآن، تماسكت المعادلة في جميع التجارب التي أُجريت عليها. واعتبرها العلماء إحدى المعادلات الأساسية في ميكانيكا الكم، واعتبروها نقطة الانطلاق لجميع أنظمة ميكانيكا الكم التي نحاول تفسيرها مثل: البروتونات والنيوترونات والإلكترونات وغيرها. إنّ الظاهرة الأساسية التي أدّت إلى ميلاد ميكانيكا الكم، وسُمّيت لاحقاً بـ”مُحفّز شرودنجر” هي وصف ظاهرة طيف الطاقة لذرة الهيدروجين. بالنسبة لنموذج رذرفورد الذي شرحناه في مقالنا السابق، إنّ تردد الإشعاع من ذرة مثل الهيدروجين يجب أن يكون مستمرّاً.

لكنّ أظهرت التجارب أنّه غير مستمر: تشعّ ذرة الهيدروجين فقط عند ترددات مُعيّنة، ويوجد قفزة عند تغيّر التردد. كان هذا الاكتشاف بمثابة صفعة للأحكام التقليدية، والتي أيّدت مقولة وضعها الفيلسوف في القرن السابع عشر جوتفريد ليبنيز Gottfried Leibniz:

“الطبيعة لا تقوم بقفزات”.

في عام 1913، وضع بور نموذجاً ذرّيّاً جديداً تكون فيه الإلكترونات مرتبطة بمستويات طاقة محددة. طبّق شرودنجر معادلته على ذرة الهيدروجين ووجد أنّ حلوله أنتجت مستويات الطاقة التي تحدّث عنها بور. وهو ما إعتُبِر لاحقاً أحد أهم إنجازات معادلة شرودنجر.

مع كثرة النجاحات العملية لمعادلة شرودنجر، أصبحت النظير الأساسي لقانون نيوتن الثاني في الحركة لميكانيكا الكم.

اقرأ أيضا:

العلاقة الجنونية بين الرياضيات والفيزياء

  • ترجمة: محمد يامين
  • تدقيق لغوي: رأفت فياض
تعليقات
Loading...

This website uses cookies to improve your experience. We'll assume you're ok with this, but you can opt-out if you wish. Accept Read More