خلاد الساروي
العد من المهارات الأساسية في الرياضيات، فكثيراً ما تواجهنا مسائل يحتاج حلّها إلى إجراء عمليات عَدٍّ بطرقٍ مختلفة، و من تلك المسائل على سبيل المثال: معرفة عدد طرق ترتيب أربعة كتبٍ مختلفة على رف. لمعرفة ذلك نستخدم التباديل والتي تستخدم أيضاً في الكثير من المجالات مثل شبكات الاتصالات والأنظمة الموزعة والتشفير وغيرها.
ما هي أعداد التباديل ؟
أعداد الترتيب، وتدعى غالباً أعداد التباديل، أو ببساطة يمكننا تسميتها التباديل، هي عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب عدد من الأشياء. نشأت هذه الأعداد من السؤال : كم عدد الترتيبات الممكنة لـ n من الأشياء باستخدام n من الأشياء أو r من الاشياء في مرة من المرات ؟
نرمز إلى تباديل n من الأشياء مأخوذة n من المرات بالرمز nPn وتباديل n من الأشياء مأخوذة r من المرات بالرمز nPr، حيث p يمثل التباديل و n يمثل عدد الأشياء المضمَّنة و r أقل من n .
لإيجاد عدد التباديل لـ n من الأشياء المختلفة مأخوذة n من المرات، نستخدم المعادلة !nPn = n ، حيث n هو مضروب، بمعنى:
- كم عدد الطرق الممكنةِ لترتيبِ الحروف a,b,c في مجموعات ثلاثية؟
الحلُّ ببساطةٍ هو: 3P3 = 3 x 2 x 1 = 6، تحديداً abc, cba, bac, cab, acb, bca
- كم عدد الطرق الممكنة لترتيب a,b,c,d في مجموعاتٍ رباعية ؟
الحل ببساطة هو: 4P4 = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
لإيجاد عدد التباديل لـ n من الاشياءِ المختلفة مأخوذة r من المرات نستخدم المعادلة:
- مثال: كم عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب الحروف a,b,c,d باستخدام 2 في كل مرة ؟
الحل هو: 4P4 = 4 x (4-2+1) = 4 x 3 = 12 تحديداْ ab,ba,ac,ca,ad,da,bc,cb,bd,db,cd,dc
- كم عدد الترتيبات المكوّنة من ثلاث خانات والتي يمكن تشكيلها من الأرقام 1,2,3,4,5,6 بدون تكرار أي رقم؟
الحل هو: 6P3 = 6 x 5 x (6-3+1) = 6 x 5 x 4 = 120
- كم عدد الترتيبات المكوّنة من ثلاثةِ حروف والتي يمكن تشكيلها من حروف الأبجدية الإنجليزية الستة والعشرين دون تكرار أي حرف؟
الحل هو: 26P3 = 26 x 25 x (26-3+1) = 26 x 25 x 24 = 15,600
وهناك سيناريو آخر للتباديل، فعندما نريد إيجادَ تباديل لـ n من الأشياء مأخوذة في كل المرات، حيث p أشياء من نوع و q أشياء من نوعٍ آخر، و r نوعٌ ثالثٌ من الأشياءِ والبقيّة كلُّها مختلفة، بدون استخدام الاشتقاق تكون كالتالي :
- مثال: كم عدد التباديل المختلفة الممكنة من حروف كلمة committee مأخوذة كلها مع بعضها البعض ؟ هناك تسعة حروف:
2 m, 2 t, 2 e, 1 c, 1o, 1 i
إذن، عدد التباديل الممكنة لهذه التسعة الحروف هي:
الأعداد الدائرية AUTOMORPHIC NUMBERS OR CIRCULAR NUMBERS :
[box type=”note” align=”aligncenter” class=”” width=””]لا يوجد اسم باللغة العربية لهذا النوع من الاعداد وتمت ترجمتها الى الاعداد الدائرية للتبسيط.[/box]
الأعداد الدائريّة هي أعداد n من الأرقام (الخانات) والتي تكون نهاية مربّعاتها العدد نفسه. فمثلاً مربّع العدد 1 هو 1 ومربّع العدد 5 هو 25 ومربّع 6 هو 36 وهكذا.
- ماذا عن عددٍ مُكوّن من خانتين وينتهي بـ 1,5,6 ؟ من المعروفِ أنّ أيّ عدد مكوَّن من خانتين وينتهي بـ 5 يُنتجُ عدداً ينتهي بالعدد 25 عند تربيعه، فمثلاً : مربع 15 هو 225، ومربع 35 هو 1225، وهذا ما يجعل العدد 25 عدداً دائريّاً؛ لأنّ مربّعه هو 625 ، ولا يوجد عددٌ دائريٌّ آخر مكوَّنٌ من خانتين ينتهي بـ 5 .
- هل هناك عددٌ مكونٌ من خانتين ينتهي بـ 1 ؟ لكي نُكوِّن عدداً من خانتين ينتهي بـ 1 ، نفرض أنّ العددَ A من 1 الى 9 ونضربه في 10 ليصبح ذو خانتين، ثم نُضيف 1 لكي ينتهي بـ 1 فيصبح لدينا (10A+1)، فلو افترضنا أنّ A=2 فإنّ العدد الناتج هو 21 ومربعه يساوي 441، وبالتالي فإنّ 21 ليس عدداً دائرياً، وهكذا لو فرضنا أن A أيّ رقم آخر من 1 إلى 9 فلن نحصلَ على عددٍ دائري مكوّن من خانتين ينتهي بـ 1 .
- هل هناك عددٌ دائريٌّ مكوّنٌ من خانتين ينتهي بـ 6 ؟ بنفسِ الطريقةِ الأولى سنحصلُ على عددٍ دائريّ وحيد مكون من خانتين، وهو العدد 76 ومربعه 5776 .
بالطريقةِ نفسها نجدُ أنّ مربّع أيّ عددٍ ينتهي بـ 625 أو 376، ينتهي بـ 625 أو 376 ، فمثلاً العدد 1625 مربّعه 2,640,625 .
الأعداد الثّنائية
الأعداد الثنائيّة هي أعدادٌ طبيعيّةٌ تُكتبُ بالنّظام الثّنائي وليس بالنّظام العشري. إنّ النّظام العشري يَستخدم 10 أرقام، بينما النّظام الثّنائي يستخدم رقمين فقط، وهما 0 و 1 للتعبير عن الأعداد الطبيعية في ترقيمٍ ثنائيّ. الأرقام 0 و 1 هي الأرقام الوحيدةُ التي تُستخدم في الحواسيبِ والحاسباتِ لتمثيلِ أيّ عددٍ عشريّ. وقد نشأ هذا النّظام من حقيقةِ أنّ التسلسلَ الثّنائيَّ للأعدادِ …….1,2,4,8,16,32,64 يمكنُ تركيبهُ لتمثيلِ أيّ عدد، فمثلاً :
1=1, 2=2, 3=1+2, 4=4, 5=1+4, 6=2+4, 7=1+2+4…………..
ويمكن تمثيل أرقام العدِّ في الحاسوبِ باستخدام 0 و 1 فقط كما يلي:
| التسلسل الثنائي | العدد | |||||||||
| 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | |||
| 1 | 1 | |||||||||
| ا | 0 | 1 | 2 | |||||||
| ل | 1 | 1 | 3 | |||||||
| ت | 0 | 0 | 1 | 4 | ||||||
| ر | 1 | 0 | 1 | 5 | ||||||
| ق | 0 | 1 | 1 | 6 | ||||||
| ي | 1 | 1 | 1 | 7 | ||||||
| م | 0 | 0 | 0 | 1 | 8 | |||||
| ا | 1 | 0 | 0 | 1 | 9 | |||||
| ل | 0 | 1 | 0 | 1 | 10 | |||||
| ث | 1 | 1 | 0 | 1 | 11 | |||||
| ن | 0 | 0 | 1 | 1 | 12 | |||||
| ا | 1 | 0 | 1 | 1 | 13 | |||||
| ئ | 0 | 1 | 1 | 1 | 14 | |||||
| ي | 1 | 1 | 1 | 1 | 15 | |||||
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 76 | |||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 157 | ||
الأعداد الأصلية
العدد الأصلي (الأساسي) هو عدد العناصر في مجموعة مكونة من عدةٍ منها، فمثلاً، عدد أو مجموعة اللاعبين في فريقِ كرةِ السلة يُعبَّر عنه بالعدد الأصليّ 9، والمجموعةُ {1,2,3,4} مكوّنةٌ من أربعةِ عناصر أصلها أربعة.
الأعداد الكاتلانية
الأعداد الكاتلانيّة هي سلسلةٌ من الأعدادِ الطبيعيّةِ تَظهرُ في العديدِ من المسائلِ التوافقيّةِ في الرياضياتِ المسلّية. الرياضيات التوافقيّة تتعاملُ مع تحديدِ عنصرٍ من مجموعةٍ من العناصر، كما نُصادف في الاحتمالاتِ والتباديل وأخد العينات. الأعداد الكاتلانية المحدّدة هي:
1,1,2,5,14,42,132,429,…………..
والمشتقّة من المعادلة:
هذه المجموعةُ المحدّدةُ من الأعدادِ مشتقّةٌ من مسائلٍ توافقيّةٍ عديدة، أحدها ما يلي:
إذا كان هناك 2n من الناس مجموعين حول طاولة، فكم عددُ المصافحاتِ الممكنةِ من شخصٍ لشخصٍ آخر بدون تقاطع؟ أي: بحيثُ لا يُسمحُ ليدٍ أن تقطعَ الأخرى في زوجٍ من الأيادي؟ بالرّسم السريعِ أو حتّى بمجموعةٍ من النقّاطِ والخطوطِ يُمكنكَ الحصولُ على أوّلِ ثلاث إجابات، وهي : هناك مصافحةٌ واحدةٌ لشخصين(عندما n=1)، وهناك مصافحتَين لـ 4 أشخاص، و 5 مصافحات لـ 6 أشخاص، ومع قليل من الصّبرِ والمثابرةِ ستجدُ أنّ هناكَ 14 مصافحة لـ 8 أشخاص، وستحصلُ على نفسِ النتيجةِ عندما تَستخدمُ المعادلة السابقة.
إذا كنتم تملكون الفضول لمعرفة أنواع أخرى من الأعداد، تابعونا في الجزء القادم من السلسلة….
- إعداد: خلاد الساروي.
- تدقيق لغوي: مروى بوسطه جي.
